Produto Cartesiano

Produto Cartesiano 

Sejam A e B dois conjuntos não-vazios. Definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados (x, y) em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. Indicamos o 
produto cartesiano de A por B por A x B. 

Se A ou B for vazio, definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio, ou seja ,

Exemplos: 

Observação: Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, 

então A x B é um conjunto finito com m.n elementos

Exemplo: Se A = {1,3} e B = {0,a,b}, então A x B = {(1,0), (1,a), (1,b), (3, 0), (3,a), (3,b)} que tem 6 elementos.

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Diagrama de flechas: 

Em cada par ordenado de A x B, uma flecha parte do 1º elemento e atinge o 2º elemento, estabelecendo a relação entre eles.

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Representação gráfica do Produto Cartesiano

Tomemos dois eixos ortogonais e sobre o eixo horizontal representemos o conjunto A e sobre o eixo vertical, o conjunto B. Tracemos paralelas aos eixos pelos pontos que representam os elementos de A e de B. Os pares ordenados serão representados pelas interseções dessas paralelas. Temos o gráfico de A x B, isto é, sua representação gráfica. 

Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, então a representação gráfica de A x B será como mostrado abaixo:

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O Plano numérico ℝ²

Os elementos (x,y) ∈ ℝ x ℝ são os pares ordenados de números reais. Eles surgem com as coordenadas cartesianas de um ponto P do plano π  (x=abscissa,y =ordenada) quando se fixa nesse plano um par de eixos ortogonais OX e OY, que se interceptam no ponto O, chamado origem do sistema de eixos cartesianos.

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Propriedades do Produto Cartesiano 

 

Exemplos: 

Se A = {1, 3}, B = {2} e C = {3, 5}, então 

A x B = {(1, 2), (3, 2)} e B x A = {(2, 1), (2, 3)}. 

A x (B x C) = A x {(2, 3), (2, 5)} = {(1, (2,3)), (1, (2, 3)), (3, (2, 3)), (3, (2, 5))} e 

(A x B) x C = {(1, 2), (3, 2)} x C = {((1,2), 3), ((1,2), 5), ((3, 2), 3), ((3, 2), 5)} .

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Para você aprender mais sobre Produto Cartesiano,assista os vídeos no youtube : 

https://www.youtube.com/watch?v=UhCpfopmjGQ

https://www.youtube.com/watch?v=B9aoSk0tqbg

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Exercício

1º)Dados os conjuntos A = [ − ,3 2 ] e B ={4}, 

represente no plano cartesiano: 

a) A x B 

b) B x A 

c) A²

2º)Dados os conjuntos A = [ − ,1 3 ] e B = [ ,2 5 ) 

represente no plano cartesiano: 

a) A²

b) A x B 

c) B x A 

3º)Dados A = ] ,4 8 ] e B = ] ,3 5 ], represente 

no plano cartesiano: 

a) A x B 

b) B x A 

c) B²

4º)Dados A = [ ,3 6 [ e B = {1, 2, 3}, represente 

no plano cartesiano: 

a) A x B 

b) B x A 

5º)Sendo A = [ ,1 3 ] e B = {4}, representar no 

plano cartesiano, o gráfico de: 

a) A x B

b) B x A 

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Plano Cartesiano

Plano Cartesiano

O Sistema de coordenadas  Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano, foi criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. 
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O Eixo Y (linha vertical) é chamado de eixo das ordenadas, enquanto que o Eixo X (linha horizontal), é chamado de eixo das abscissas.
O ponto P (ponto vermelho da figura) possui duas coordenadas: X e Y , que indicam em que lugar dos eixos das ordenadas e abscissas ele se encontra. Representa-se isso por (Xp, Yp). 
Os números romanos nos cantos mostram os quadrantes do plano cartesiano. Os pontos do eixo X que estão nos quadrantes II e III são negativos, enquanto que em I e IV são positivos. Os valores de Y nos quadrantes I e II são positivos, e nos restantes (III e IV), esses valores são negativos.

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O plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes.Veja na figura a seguir : 

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Bissetrizes

As bissetrizes são retas que cortam exatamente o centro do plano cartesiano ( ponto (0, 0) ), e formam um ângulo de 45º com os eixos X e Y. As coordenadas dos pontos que estão sobre a bissetriz que se encontra nos quadrantes pares são sempre opostos (se X for positivo, Y será negativo, e vice-versa). 
Já os pontos sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares, terão os valores de X e Y iguais.Veja na figura a seguir :

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Distância entre dois pontos

Se soubermos as coordenadas de dois pontos no plano cartesiano (ponto A e B), é possível determinar a sua distância, utilizando o teorema de Pitágoras (a² = b² + c²)

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Localizando pontos no Plano Cartesiano: 


A(4 ; 3) → x = 4 e y = 3 

B(1 ; 2) → x = 1 e y = 2 

C( –2 ; 4) → x = –2 e y = 4 

D(–3 ; –4) → x = –3 e y = –4 

E(3 ; –3) → x = 3 e y = –3

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Para você aprender mais sobre Plano Cartesiano,assista o vídeo no 

youtube : 

https://www.youtube.com/watch?v=O27JMe0Qvok

Também acesse essas aulas  : 

http://www.skoool.pt/content/los/maths/cartesian/launch.html

http://www.skoool.pt/content/los/maths/polt_points_quad/launch.html

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Exercício

1º) Localize os pontos A (-4,-2); B (-2,6); C (1,4); D (-2,-5); E (-3,-3); F (4,0); G (0,-6); 
H (2,5); I (0,3) no plano cartesiano.

2º)Um quadrilátero tem por vértices os pontos R (1,2); S (1,-3); T (4,-3) e V (4,0). Desenhe esse quadrilátero no plano cartesiano e dê o seu nome.

3º)No plano cartesiano, encontre os pontos A (4,0), B (0,4), C (-4,4), D (-8,0), E (-4,-4) e F (0,-4), e responda:

a)    Qual a figura geométrica formada pelos pontos ABCDEF?
b)    A figura é regular?
c)     Qual sua área?

4º)Localize no plano os pontos A (-5,2); B (0,2); C (0,0) e D (-5,0).Supondo que cada unidade de comprimento dos eixos x e y corresponda a 1 cm, pede-se:

a)     o nome do quadrilátero ABCD;
b)     o perímetro desse quadrilátero;
c)      a área do quadrilátero;

d)      a área do triângulo  ADC.

5º)No plano cartesiano, localize os pontos A (0,0), B (6,13), C (-6,13) e responda:

a)    Qual a figura geométrica formada pelos pontos ABC?

b)  Classifique-a de acordo com seus lados.

C)    Qual sua área?

d)  Calcule o valor dos lados da figura.

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Operações com intervalos

Operações com intervalos

As operações de União, Interseção e Diferença de intervalos obedecem às mesmas 

definições dadas para operações com conjuntos, sendo que, preferencialmente, devem 

ser feitas através da representação geométrica desses intervalos. 

A. UNIÃO DE INTERVALOS 

 

– É o intervalo formado por todos os elementos  que pertençam a um dos intervalos ou ao outro intervalo.

Vejamos um exemplo: Sejam os intervalos A = [1, 3]; B = [2, 5). A união desses intervalos 

será representada graficamente: 

Logo, A ∪ B = [1, 5)

B. INTERSEÇÃO DE INTERVALOS

– É o intervalo formado pelos elementos  

comuns aos dois intervalos.

Vejamos um exemplo: Sejam os intervalos A = [2, 5) e B = [3,. 6). A interseção desses 

intervalos será representada graficamente: 

Logo, A ∩ B = [3, 5)

C. INTERSEÇÃO DE INTERVALOS (A – B)

– É o intervalo formado pelos  

elementos que pertencem ao intervalo A mas que não pertencem ao

intervalo B. 

Vejamos um exemplo: Sejam os intervalos A = [0, 3] e B = [1,5]. A diferença A – B 

será o intervalo [0, 1). Observe que a extremidade 1 ficou aberta na resposta por 

pertencer ao intervalo B e, pela definição, a diferença A – B deve ser formada 

apenas pelos elementos que estão no intervalo A mas NÃO ESTÃO no intervalo B.

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Para você aprender mais sobre operações com intervalos,

assista os vídeos no youtube :

https://www.youtube.com/watch?v=d7P9fIvNdIo

https://www.youtube.com/watch?v=pIwldFQJAzY

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Exercício

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1º)Dados os intervalos: A = [-1, 6] ; B = [0, 8) e C = (- ∞, 10]. Obtenha: 

a) A ∪ B = 

b) A ∩ B = 

c) A ∩ C = 

d) A – B = 

e) B – A = 

f) A – C = 

g) C – A = 

h) (A ∪ C) ∩ (B ∩ C) =

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Intervalos Reais

Intervalos Reais

Definição: Denominamos de intervalo real a qualquer subconjunto dos números reais,definido através de uma desigualdade.

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Intuitivamente, um intervalo real é um subconjunto dos números reais que não tem nenhum buraco. Ou seja, se I é um intervalo, a e b são elementos deste intervalo com a < b, então todo número entre a e b também pertence ao intervalo.

Os intervalos são classificados de acordo com seus extremos (o extremo superior e o extremo inferior). Cada extremo pode ser ilimitados, limitado e aberto ou limitado e fechado.
Representa-se o intervalo através do seu limite inferior, seguido da vírgula (ou ponto-e-vírgula) e o limite superior.
Costuma-se representar o limite inferior por:


• ] - ∞- ilimitado 

• ]a - limitado e aberto 

• [ a - limitado e fechado 


Sendo o limite superior representado por:

• ∞ [ - ilimitado 

• b [ - limitado e aberto 

•b ] - limitado  e fechado 

Por exemplo:

• ] - ∞ , 0 ]  - é o conjunto dos números reais não-positivos

• [ 1,2 [ - é o conjuntos dos números reais x em que x ≥ 1 e x < 2
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Tipos de Intervalos


1) Intervalo aberto de extremos a e b. 

2) Intervalo fechado de extremos a e b. 

3) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, de extremos a e b. 

4) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, de extremos a e b.

5) INTERVALOS INFINITOS 

5.1. Intervalo de menos infinito até n, fechado em n.

5.2. Intervalo de menos infinito até n, aberto em n.

5.3. Intervalo de n até mais infinito, fechado em n. 

5.4. Intervalo de n até mais infinito, aberto em n. 

OBSERVAÇÃO: 

Na representação geométrica de um intervalo (reta real), a bolinha vazia indica que 

o intervalo é aberto e que aquele elemento não pertence ao conjunto. Já a bolinha 

cheia indica que o elemento pertence ao conjunto e que o intervalo é fechado. 

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Para você aprender mais sobre intervalos reais,assista

 vídeo no youtube :

https://www.youtube.com/watch?v=WpYn00ntYXE

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Exercício

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 Observe o intervalo e responda as perguntas:

1. Quantos elementos possui o intervalo ?

2. Quantos elementos inteiros possui o intervalo ?

3. Qual o valor máximo do intervalo? 

4. Qual o valor mínimo do intervalo?

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Conjuntos Numéricos

Conjuntos Numéricos

Os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes. Nesta seção, a concepção desses conjuntos será abordada, visando à compreensão dos elementos que constituem cada um dos conjuntos numéricos.

Temos então os seguintes conjuntos numéricos:

• Conjunto dos números Naturais (N);
• Conjunto dos números Inteiros (z);
• Conjunto dos números Racionais
• Conjunto dos números Irracionais (I);
• Conjunto dos números Reais (R);
• Conjunto dos números Complexos (C);

Este último conjunto numérico possui uma seção especial para ele (Números Complexos).

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Conjunto dos Números Naturais (IN)

O conjunto mais simples, e o primeiro com o qual temos contato, é o conjunto dos números naturais. Ele é formado por números inteiros e positivos, mais o zero. Assim, a partir do zero, e "andando" de uma em uma unidade, infinitamente, temos os números naturais.

Representação: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Muita gente acharia a Matemática bem menos complicada se existissem só esses números .

Porém, esse conjunto é limitado para algumas coisas, isto é, existem alguns problemas que ele não "consegue resolver". Tente, por exemplo, achar um sucessor e um antecessor natural para cada um desses números. O zero não tem antecessor natural! Outra coisa: é sempre possível subtrair dois números naturais e achar outro número natural? A resposta é "não". Basta tentar fazer 3 - 4.

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Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto que soluciona esses problemas é o dos números inteiros. Ele é formado pelos inteiros negativos, positivos e o zero. Continua "andando" de uma em uma unidade, mas agora todos os seus componentes têm sucessor e antecessor, e é possível fazer qualquer subtração entre eles, pois o resultado será sempre inteiro.

Representação: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 

No entanto, como o conjunto dos números naturais, ele tem os seus "probleminhas". Não é possível sempre dividir um número inteiro por outro e o resultado ser inteiro. Se tentarmos dividir 3 por 2, por exemplo, o resultado não será exato, não será inteiro. Logo, esse conjunto não serve ainda para representar todas as quantidades existentes. Nosso sistema monetário, com centavos, não pode ser representado só com números inteiros. A simples quantia de R$ 1,50 não é um número inteiro.

É necessário, então, outro conjunto

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O conjunto IN é subconjunto de Z.

Temos também outros subconjuntos de Z:

Z* = Z-{0}

Z₊ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}

Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

Observe que Z₊ = IN.

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Conjunto dos Números Racionais (Q)

Esses números são os resultados de divisões exatas e inexatas, ou seja, estão incluídos os números inteiros, os decimais, as frações, as dízimas periódicas e pode ser definido como o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração.

Representação: = 

Exemplos de números racionais: 0; 1,23; 0, 3333...; ; -4; 13; etc.

Conjunto dos Números Irracionais 

 Esse conjunto é constituído, basicamente, pelas raízes não-exatas, mas seu mais famoso integrante é o número , seguido do número e. 

Assim, os números que fazem parte do conjunto dos números irracionais não podem ser escritos na forma de fração, logo não são racionais, ao contrário dos conjuntos anteriores, pois os naturais estão contidos nos inteiros - e esses, por sua vez, estão contidos nos racionais.

Conjunto dos Números Reais (R)

A união dos irracionais com os racionais forma o conjunto dos números reais (R) , os quais resolvem quase todo tipo de problema. Isso mesmo: quase todos os problemas, pois existe uma questão que ainda fica em aberto: qual o número real que, elevado ao quadrado, resulta em um número negativo?

Exemplo: qual o número que, elevado ao quadrado, resulta em -4? 

Poderíamos pensar no -2, mas (-2).(-2) = 4 e, com 2.2 acontece a mesma coisa. Logo, é preciso um novo conjunto: o dos números complexos (C) , baseados na unidade imaginária . A resposta da pergunta anterior é: o número que elevado ao quadrado resulta em -4 é 2i.

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Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:

IR* = IR-{0}

IR₊ = conjunto dos números reais não negativo

IR_ = conjunto dos números reais não positivos

Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:

- Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ;  1,1 ;  1,2  ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

- Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ;  5,1 ;  5,2  ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

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Para você aprender mais sobre conjuntos numéricos assista o vídeo no youtube :

https://www.youtube.com/watch?v=iQJlSvapg-U

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EXERCÍCIOS  

Todas as respostas estarão no final !

1 º)Dado que x é um número racional e Y um número irracional ,é verdade que :

(A) x⋅Y é racional
(B) Y2 é racional
(C) x⋅Y pode ser racional
(D) x⋅Y é irracional
(E) x+Y é racional

2 º)Dado que A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4} e B = {x ∊ ℕ | 2 < x < 20}, então A⋂B =

(A) { }
(B) {2}
(C) {3}
(D) {2,3}
(E) {3,4}

3 º) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que:

(A)x = 0 e y = 5

(B)x+y=7 

(C)x = 0 e y = 1

(D)x + 2 y = 7

(E)x = y

4 º)Dado que 1 ≤ x ≤ 4 e 13 ≤ y ≤ 20, então :

(A) o valor máximo de x/y é 20
(B) o valor mínimo de x/y é 1
(C) o valor máximo de x/y é 4
(D) o valor máximo de x/y é 4/13  
(E) o valor máximo de x/y é 5

5 º)Se x e y são números reais tais que x = (0,25)^0,25 e y=16^–0,125, é verdade que

a) x = y 
b) x > y
c) x·y = 2√2

d) x - y é um número irracional.
e) x + y é um número racional não inteiro.

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↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓Respostas abaixo↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

1 º)C

2 º)C

3 º)B

4 º)D

5 º)A

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