Conjuntos Numéricos

Conjuntos Numéricos

Os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes. Nesta seção, a concepção desses conjuntos será abordada, visando à compreensão dos elementos que constituem cada um dos conjuntos numéricos.

Temos então os seguintes conjuntos numéricos:

• Conjunto dos números Naturais (N);
• Conjunto dos números Inteiros (z);
• Conjunto dos números Racionais
• Conjunto dos números Irracionais (I);
• Conjunto dos números Reais (R);
• Conjunto dos números Complexos (C);

Este último conjunto numérico possui uma seção especial para ele (Números Complexos).

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Conjunto dos Números Naturais (IN)

O conjunto mais simples, e o primeiro com o qual temos contato, é o conjunto dos números naturais. Ele é formado por números inteiros e positivos, mais o zero. Assim, a partir do zero, e "andando" de uma em uma unidade, infinitamente, temos os números naturais.

Representação: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Muita gente acharia a Matemática bem menos complicada se existissem só esses números .

Porém, esse conjunto é limitado para algumas coisas, isto é, existem alguns problemas que ele não "consegue resolver". Tente, por exemplo, achar um sucessor e um antecessor natural para cada um desses números. O zero não tem antecessor natural! Outra coisa: é sempre possível subtrair dois números naturais e achar outro número natural? A resposta é "não". Basta tentar fazer 3 - 4.

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Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto que soluciona esses problemas é o dos números inteiros. Ele é formado pelos inteiros negativos, positivos e o zero. Continua "andando" de uma em uma unidade, mas agora todos os seus componentes têm sucessor e antecessor, e é possível fazer qualquer subtração entre eles, pois o resultado será sempre inteiro.

Representação: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 

No entanto, como o conjunto dos números naturais, ele tem os seus "probleminhas". Não é possível sempre dividir um número inteiro por outro e o resultado ser inteiro. Se tentarmos dividir 3 por 2, por exemplo, o resultado não será exato, não será inteiro. Logo, esse conjunto não serve ainda para representar todas as quantidades existentes. Nosso sistema monetário, com centavos, não pode ser representado só com números inteiros. A simples quantia de R$ 1,50 não é um número inteiro.

É necessário, então, outro conjunto

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O conjunto IN é subconjunto de Z.

Temos também outros subconjuntos de Z:

Z* = Z-{0}

Z₊ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}

Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

Observe que Z₊ = IN.

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Conjunto dos Números Racionais (Q)

Esses números são os resultados de divisões exatas e inexatas, ou seja, estão incluídos os números inteiros, os decimais, as frações, as dízimas periódicas e pode ser definido como o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração.

Representação: = 

Exemplos de números racionais: 0; 1,23; 0, 3333...; ; -4; 13; etc.

Conjunto dos Números Irracionais 

 Esse conjunto é constituído, basicamente, pelas raízes não-exatas, mas seu mais famoso integrante é o número , seguido do número e. 

Assim, os números que fazem parte do conjunto dos números irracionais não podem ser escritos na forma de fração, logo não são racionais, ao contrário dos conjuntos anteriores, pois os naturais estão contidos nos inteiros - e esses, por sua vez, estão contidos nos racionais.

Conjunto dos Números Reais (R)

A união dos irracionais com os racionais forma o conjunto dos números reais (R) , os quais resolvem quase todo tipo de problema. Isso mesmo: quase todos os problemas, pois existe uma questão que ainda fica em aberto: qual o número real que, elevado ao quadrado, resulta em um número negativo?

Exemplo: qual o número que, elevado ao quadrado, resulta em -4? 

Poderíamos pensar no -2, mas (-2).(-2) = 4 e, com 2.2 acontece a mesma coisa. Logo, é preciso um novo conjunto: o dos números complexos (C) , baseados na unidade imaginária . A resposta da pergunta anterior é: o número que elevado ao quadrado resulta em -4 é 2i.

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Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:

IR* = IR-{0}

IR₊ = conjunto dos números reais não negativo

IR_ = conjunto dos números reais não positivos

Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:

- Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ;  1,1 ;  1,2  ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

- Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ;  5,1 ;  5,2  ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

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Para você aprender mais sobre conjuntos numéricos assista o vídeo no youtube :

https://www.youtube.com/watch?v=iQJlSvapg-U

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EXERCÍCIOS  

Todas as respostas estarão no final !

1 º)Dado que x é um número racional e Y um número irracional ,é verdade que :

(A) x⋅Y é racional
(B) Y2 é racional
(C) x⋅Y pode ser racional
(D) x⋅Y é irracional
(E) x+Y é racional

2 º)Dado que A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4} e B = {x ∊ ℕ | 2 < x < 20}, então A⋂B =

(A) { }
(B) {2}
(C) {3}
(D) {2,3}
(E) {3,4}

3 º) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que:

(A)x = 0 e y = 5

(B)x+y=7 

(C)x = 0 e y = 1

(D)x + 2 y = 7

(E)x = y

4 º)Dado que 1 ≤ x ≤ 4 e 13 ≤ y ≤ 20, então :

(A) o valor máximo de x/y é 20
(B) o valor mínimo de x/y é 1
(C) o valor máximo de x/y é 4
(D) o valor máximo de x/y é 4/13  
(E) o valor máximo de x/y é 5

5 º)Se x e y são números reais tais que x = (0,25)^0,25 e y=16^–0,125, é verdade que

a) x = y 
b) x > y
c) x·y = 2√2

d) x - y é um número irracional.
e) x + y é um número racional não inteiro.

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↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓Respostas abaixo↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

1 º)C

2 º)C

3 º)B

4 º)D

5 º)A

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