Produto Cartesiano

Produto Cartesiano 

Sejam A e B dois conjuntos não-vazios. Definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados (x, y) em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. Indicamos o 
produto cartesiano de A por B por A x B. 

Se A ou B for vazio, definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio, ou seja ,

Exemplos: 

Observação: Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, 

então A x B é um conjunto finito com m.n elementos

Exemplo: Se A = {1,3} e B = {0,a,b}, então A x B = {(1,0), (1,a), (1,b), (3, 0), (3,a), (3,b)} que tem 6 elementos.

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Diagrama de flechas: 

Em cada par ordenado de A x B, uma flecha parte do 1º elemento e atinge o 2º elemento, estabelecendo a relação entre eles.

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Representação gráfica do Produto Cartesiano

Tomemos dois eixos ortogonais e sobre o eixo horizontal representemos o conjunto A e sobre o eixo vertical, o conjunto B. Tracemos paralelas aos eixos pelos pontos que representam os elementos de A e de B. Os pares ordenados serão representados pelas interseções dessas paralelas. Temos o gráfico de A x B, isto é, sua representação gráfica. 

Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, então a representação gráfica de A x B será como mostrado abaixo:

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O Plano numérico ℝ²

Os elementos (x,y) ∈ ℝ x ℝ são os pares ordenados de números reais. Eles surgem com as coordenadas cartesianas de um ponto P do plano π  (x=abscissa,y =ordenada) quando se fixa nesse plano um par de eixos ortogonais OX e OY, que se interceptam no ponto O, chamado origem do sistema de eixos cartesianos.

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Propriedades do Produto Cartesiano 

 

Exemplos: 

Se A = {1, 3}, B = {2} e C = {3, 5}, então 

A x B = {(1, 2), (3, 2)} e B x A = {(2, 1), (2, 3)}. 

A x (B x C) = A x {(2, 3), (2, 5)} = {(1, (2,3)), (1, (2, 3)), (3, (2, 3)), (3, (2, 5))} e 

(A x B) x C = {(1, 2), (3, 2)} x C = {((1,2), 3), ((1,2), 5), ((3, 2), 3), ((3, 2), 5)} .

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Para você aprender mais sobre Produto Cartesiano,assista os vídeos no youtube : 

https://www.youtube.com/watch?v=UhCpfopmjGQ

https://www.youtube.com/watch?v=B9aoSk0tqbg

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Exercício

1º)Dados os conjuntos A = [ − ,3 2 ] e B ={4}, 

represente no plano cartesiano: 

a) A x B 

b) B x A 

c) A²

2º)Dados os conjuntos A = [ − ,1 3 ] e B = [ ,2 5 ) 

represente no plano cartesiano: 

a) A²

b) A x B 

c) B x A 

3º)Dados A = ] ,4 8 ] e B = ] ,3 5 ], represente 

no plano cartesiano: 

a) A x B 

b) B x A 

c) B²

4º)Dados A = [ ,3 6 [ e B = {1, 2, 3}, represente 

no plano cartesiano: 

a) A x B 

b) B x A 

5º)Sendo A = [ ,1 3 ] e B = {4}, representar no 

plano cartesiano, o gráfico de: 

a) A x B

b) B x A 

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