Conjuntos

Conjuntos

Definição : Conjunto é uma reunião de elementos, podemos dizer que essa definição é bem primitiva, mas a partir dessa ideia podemos relacionar outras situações. O conjunto universo e o conjunto vazio são tipos especiais de conjuntos. 
Vazio: não possui elementos e pode ser representado por { } ou Ø. 
Universo: possui todos os elementos de acordo com o que estamos trabalhando, pode ser representado pela letra maiúscula U. 

A representação de um conjunto depende de determinadas condições: 

Exemplos , 

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Exemplo 1 
Condição: O conjunto dos números pares maiores que zero e menores que quinze. Representação através de seus elementos. 
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 

Representação pela propriedade de seus elementos. 
A = {x / x é par e 0 < x < 15}, o símbolo da barra (/) significa “tal que”. 
x tal que x é par e x maior que zero e x menor que 15.
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Exemplo 2 
Condição: O conjunto dos números Naturais ímpares menores que vinte. Elementos 
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} 

Propriedade dos elementos 
A = {x Є N / x é impar e x < 20} 
x pertence aos naturais tal que x é impar menor que 20. 
Outra forma de representação de conjuntos de elementos é a utilização de diagramas. Observe os conjuntos A e B. 
A = {x / 2 < x ≤ 12} e B = {x / 4 < x < 8} 
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Os conjuntos servem para representar qualquer situação envolvendo ou não elementos. Na Matemática, uma importante aplicação dos conjuntos é na representação de conjuntos numéricos.

Os estudos básicos sobre conjuntos deram origem aos estudos relacionados às Teorias dos Conjuntos, que faz uma análise sobre as suas propriedades. Esses estudos se originaram nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor. Na teoria dos conjuntos, os elementos podem ser: pessoas, números, outros conjuntos, dados estatísticos e etc. 

Representação

Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:

 A = {v,x,y,z}

Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z

A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:

S={A,B,C,D}

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Especificando conjuntos

A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:

P={6,28,496}

Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:

N:{0,1,2,3,4,5,...}

Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:

T={{1,6},{5,8}}

Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:

A={x|P(x)}

P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:

A={x e R |x² - 6x = - 8}

O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, .A={2,4}

Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.

Terminologia

Conjunto unitário

Um conjunto unitário possui um único elemento.

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por {},Ø , entre outros .

Subconjuntos

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

.^[1] Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

A = { 1,2,3 }

B = { 1,2,3,4,5,6 }

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Para você aprender mais sobre conjuntos , assista o vídeo no youtube :

https://www.youtube.com/watch?v=PL_RQcUXGtU

EXERCÍCIOS  

Todas as respostas estarão no final do exercício .

1 º) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado: 

• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;
• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;
• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;
• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. 

Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos desta turma é : 

(A)49.
(B)50.
(C)47.
(D)45.
(E)46.

2 º) O complementar de A em relação a B: 

(A) {2, 5, 7, 11}
(B) {9}
(C) {0, 2, 4, 5, 7, 11}
(D) {0, 2, 4, 5, 7, 9, 11}
(E) {5, 7, 11}

3 º)Se A ⊂ B e B = {10, 23, 12, {1,2}}, então A não pode ser: 

(A) Ø
(B) {1}
(C) {10, 23, 12}
(D) {15, 10}∩{13,10}
(E) {1, 2}

4 º) Se A ⊂ B e B = {10, 23, 12, {1,2}}, então A∪B é: 

(A) Ø
(B) {1}
(C) {10, 23, 12}
(D) {15, 10}∩{13,10}
(E) {10, 23, 12, {1,2}}

5 º) 
(A) {2}
(B) Ø
(C) {1, 4}
(D) {1, 4, 0}
(E) Nenhuma das anteriores

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↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓Respostas abaixo↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

1 º) B

2 º)E

3 º)B

4 º)E

5 º)E

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